教学过程：教师按平时的教学方法，顺利的讲完了这节课的内容后，讲了下面这个问题：

已知D是定圆A上的点，C是圆A所在平面上一定点，线段CD中点为E，当D在圆A上运动时，求点E的轨迹。我认为这个问题基本讲清楚了，但第二天的作业，却出现了共性问题，许多学生对如下题目仍不会做。

已知D是定圆A上的点，C是圆A所在平面上一定点，线段CD的垂直平分线与DA的交点为F，与CD的交点为E，当D在圆A上运动时，求点F的轨迹。生丙：老师，这个题我不会做。师：课堂上讲的那道题你理解了吗？

生乙：我们都会了，但这个题我们三个人得出的结论都不同，我得的是双曲线，他得的是椭圆，到底谁的对呢，应当怎么样考虑？

师：你们的结果为什么不同呢？什么原因产生的？

生丁：我得的是C点在圆内；她俩得的C点一在圆外；一在圆内；师：这就说明，这个题要对C点位置进行讨论；生乙：那还有没有别的情况呢，怎么样才能考虑全面呀；

生丙：那么今天上课的题目，当C点在不同位置时，又会怎么样呢？师：也要进行讨论分析呀。

生丁：可我们如何才能知道，啥情况下要讨论，啥情况下不讨论呀？

学生提出的问题，确实是他们感到最困惑的。这还是肯动脑子的学生，其他学生，通过这堂课的教学，又明白了多少呢？

（二）对以上案例的反思

1、教材对抛物线定义虽没有强调点与直线的位置关系，但从实例的引入中，直观上还是指出了的，更何况，又作了强调，问题的出现，仅仅是学生的简单的失误吗？从案例中可发现：课题的引入仅仅是教者的一厢情愿，由于学生认知层次的差别，无法达成应有的学习效果。2、学生乙显然是班上基础较扎实的一位，牢记定义，并记住老师讲的要点，但乙对知识的产生，发展过程并不“踏实” ，还处于一种肤浅的认识，对难度大一点的题，还是不能较好的解决，究其原因，是由于教师给出定义过于唐突，缺少实验、探讨所至。由于教师在教学中只注意新概念强制性地注入学生脑中，置学生于被动地位，使思维呈依赖性，因而学生只能消极被动地接受这个定义而未能内化这个新知识，无法达到有意义的理解和灵活运用。3、从学生对定义理解的“不踏实”，可以看出，学生的学习是被动的，他们的知识是教师强加给他的，不是自己主动探索与生成的。4、从问题结论的不确定性可以看出，传统的教学方法，无法让学生直观发现动点变化的情况，更难以理解结论产生的原因，即使是教师在教学过程中反复强调，或引导学生思考，学生也仅仅只能记住教师所讲的结论，没有自己的探究和思考，知其然而不知其所以然。总之，这些现象说明我们的教学存在着它的缺陷。多年来，我国基础教育在培养学生基础知识、基本能力上做出了一定贡献，这是我国基础教育的优势所在。但也是这种优势使我国基础教育只强调书本知识的传授，理解和掌握，强调解题能力的形成和提高，忽视学生综合素质的提高和个性发展，特别是学生自主学习和自主发展的培养。

二、动态课堂要求下的教学设计

1、案例三：用动态生成理论对案例2的改进教学：已知D是定圆A上的点，C是圆A所在平面上一定点，线段CD中点为E，当D在圆A上运动时，求点E的轨迹。教师用几何画版演示轨迹，当学生看清轨迹时，教师让学生回答为什么？并引导学生进行论证。

当学生完成论证后，教师提出新的问题：

在上面问题中，过E作CD的垂线，交DA于F，则当D在圆A上运动时，问点F的轨迹是什么图形。生：还是圆。师：是圆吗，用几何画版试一试。（学生兴趣高涨）

生：是椭圆。师：有不同意见吗？

生：是双曲线。师：还有不同意见吗？

生：是一个点。师：把几种意见总结一下。

生1：当C点在圆内不与A点重合时是椭圆，生2：当C点在圆外时是双曲线；生3：当C点在圆上时是A点；生4：当C点与A重合时是圆。师：能证明吗？

学生在教师的指导下，进行论证。教师要引导学生从不同的角度进行论证。

师：我们不仅要学会解决问题，积累解决问题的经验，总结解决问题的方法 ，并运用这些经验解决新的问题，更重要的是敢于提出问题，善于提出问题。从刚才的探求中可看出同学们掌握了基本的探求和论证的思维方法。

点评：我们知道，探求一个点的轨迹，思维的出发点主要是两个，一是找出约束动点变动的几何条件，二是找出影响动点变动的因素，而这一节课从一系列的问题的探究中，使学生明确了探求点的轨迹的途径，初步理清了解决这类问题的思路，从整体上把握了这类问题的解决方法，看清了问题的本质。

2、反馈记录学生A：今天的课，用几何画版直观的演示，感觉很容易懂，很美妙！学生B：想不到，在一次次的探讨过程中，能得出这么多的结论，学到这么多东西，挺有成就感的！学生C：这样学起来，又轻松，又容易懂，自己发现的结论，就不易忘记了。3、案例三对我们的启示：数学发展的历史表明，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历，然而出现在数学教科书中时,却掩盖了其间人类探索的“火热的思考”,而成“冰冷的美丽”。对学习者而言，数学的知识应该是一个数学化的过程，即通过对常识材料进行细致的观察、思考，借助于分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的精加工。案例三正是从数学研究和数学实验的过程中进行设计，学生的思维不一定真实的重演了人类对轨迹探索的全过程，但确确实实通过实验、观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探索中学习数学化，从而才使学生有了对数学学习的乐趣；虽然学生要学的数学是历史上前人已建构好了的，但对他们而言，仍是全新的、未知的，需要用他们自己的学习活动来再现类似的过程。案例三正是从创设问题情景作为教学设计的最重要的内容之一。教师的工作是把教学设计成学生动手操作、观察猜想、揭示规律等一系列过程，侧重于学生的探索、分析与思考，侧重于过程的探究及在此过程中所形成的一般数学能力。

教师的地位应由主导者转变为引导者。案例三正是在这个思想的指导下，在教学思想上，要求教师的教学思想由“教”转向“学”，由“教师”转向“学生”，使教学活动真正成为学生的活动。在教学过程中，把学习的主动权交给学生，在时间和空间上保证学生在教师的指导下，学生自己独立自主的探究学习，在教学方法上，充分注意学生的差异性，加强课堂调控，使教学活动始终处于学生的“最近发展区”，使每一个学生通过自己的努力，在自己原有的基础上都有所获，都有提高， 使教学活动充满师生交流互动的气氛。